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定義 真理値表

真理値表とは

真理値表または真理値表は、論理的推論の分野で広く使用されている数学的ツールです。 その目的は、複合命題(2つ以上の単純な命題によって形成される議論)の論理的妥当性を検証することです。

複合命題の例:

  • ジョンは背が高くマリアは背が低い。
  • ペドロは背が高いか、ジョアナは金髪です。
  • ペドロの身長が高い場合ジョアナは赤です。

上記で構成された命題のそれぞれは、太字の接続詞によって結合された2つの単純な命題によって形成されます。 それぞれの単純な命題は真実でも偽でもあり得、これは複合命題の論理的価値を直接暗示します。 「 ジョンは身長が高く、メアリーは身長が低い 」という句を採用すると、この文の評価は次のようになります。

  • ジョンが背が高くメアリーが低い場合、「ジョンは背が高くメアリーは低い」という句は真です。
  • ジョンが背が高くメアリーが低くない場合、「ジョンは背が高くメアリーは低い」という句は偽です。
  • ジョンが背が高くなく、メアリーが低い場合、「ジョンは背が高く、メアリーは低い」というフレーズはFALSEです。
  • ジョンが背が高くなく、メアリーが低くない場合、「ジョンは背が高く、メアリーは低い」というフレーズは偽です。

真理値表は、この同じ推論を体系化したものです(下記の接続詞のトピックを参照)。 さらに、真理値表の規則は、文中の命題の数に関係なく適用できます。

それはどのように機能しますか?

まず、質問の命題を論理で使われる記号に変えます。 広く使用されているシンボルリストは次のとおりです。

シンボル論理演算意味
p命題1p =ジョンは背が高い。
q命題2q =メアリーは低いです。
否認しないでくださいもしジョンが背が高いなら、 " 〜p "は偽です。
^接続詞そしてp ^ q =ジョンは背が高くメアリーは低いです。
v選言またはp v q =ジョンは背が高いか、メアリーは低いです。
条件付きもしそうならp q =ジョンが背が高いならメアリーは低いです。
(すなわち二条件場合に限りp↔q =メアリーが低い場合に限りジョンは背が高い。

次に、複合命題の評価のすべての可能性を含む表を提示し、肯定を記号で置き換えます。 2つより多くの命題がある場合には、それらが文字rsなどで象徴されることがあることを明確にする価値があります。

最後に、示された接続詞によって定義された論理演算が適用されます。 上記のリストによると、これらの操作は、否定、接続、選言、条件付き、および2条件付きです。

否認

拒否はで表されます。 否定の論理演算は最も単純であり、しばしば真理値表の使用を不要にします。 同じ例に従うと、Johnが背が高くない(p)ならば、Johnは背が高くない(〜p)はFALSEであり、その逆も同様です。

接続詞

接続詞は^で表されます。 例「ジョンは背が高く、メアリーは低い」は「p ^ q」で表され、真理値表は次のようになります。

接続詞は累積という考えを示唆しているので、単純な命題の1つが偽であるならば、複合命題が真実であることは不可能です。

結論 :連言的複合命題(接続詞eを含む)は、それらの要素がすべて当てはまる場合にのみ当てはまります。

例:

  • パウロ、レナート、トゥリオは親切でキャロラインは面白いです。 - Paulo、Renato、Tulioが優しくない、またはCarolinaが面白くない場合、命題はFALSEになります。 複合命題が真になるように、 すべての情報が真実であることが必要です。

選言

選言はvで表されます。 上の例の接続詞を「ジョンは背が高い、またはメアリーは背が低い」と交換するまたは 「私たちは低い」となります。 この場合、文は "p v q"で表され、真理値表は次のようになります。

選言は交代という考えを意味するので、複合命題もそうであるように単純な命題の1つが真実であれば十分です。

結論 :選言的な複合命題( または接続詞を含む)は、それらの要素がすべて偽である場合にのみ偽になります。

例:

  • 私の母、私の父、または私の叔父は私に贈り物をするでしょう。 - 言明が真実であるためには、母親、父親または叔父のうちの1人だけが贈り物をすれば十分です。 それらのどれもがそれを与えないならば、命題は偽になるでしょう。

条件付き

条件はで表されます。 それは接続詞自体によって表現され、そして因果関係の中で単純な命題を相互接続します。 例 "PauloがCariocaの場合、彼はブラジル人です"は "p q"となり、真理値表は次のようになります。

条件文には1つの先行詞と1つの必然的命題があり結合詞区切られています。 条件付き分析では、先行詞と帰結詞の含意の関係を考慮して、命題が可能である可能性がある事例を評価する必要がある。

結論 :条件付き複合命題(接続詞がある場合のみ)は、最初の命題がtrueで2番目の命題がfalseの場合にのみfalseになります。

例:

  • もしパウロがカリオカなら、彼はブラジル人です。 - この命題が真と見なされるためには、それが可能であるケースを評価する必要がある。 上記の真理値表によると、次のようになります。
  1. パウロはブラジル人/パウロはブラジル人= POSSIBLE
  2. パウロはカリオカです/パウロはブラジル人ではありません=不可能
  3. PauloはCariocaの出身ではない/ Pauloはブラジル人= POSSIBLE
  4. パウロはカリオカではない/パウロはブラジル人ではない= POSSIBLE

二条件

2条件はで表されます。 それは、それらが単純な命題を等価関係に相互接続する場合限り 、接続詞を通して読まれる。 例「ジョンは、マリアが微笑んでいるときにだけ幸せです」。 は " p↔q "となり、真理値表は次のようになります。

二条件は相互依存の考えを示唆しています。 名前自体が示すように、2条件式は2つの条件式から構成されます。1つはpからqに離れる方向(p q)、もう1つは反対方向(q p)です。

結論 :2条件構成の命題(接続詞がある場合限りそれを含む)は、すべての命題が真の場合、またはすべての命題が偽の場合にのみ成立します。

例:

  • マリアが微笑むのであれば、ジョンは幸せです。 -つまり、
  1. もしジョンが幸せなら、マリアは微笑みますそしてマリアが微笑むなら、ジョンは幸せです= TRUE
  2. ジョアンが幸せでなければ、マリアは笑わず、マリアが笑わなければ、ジョアンは幸せではない= TRUE
  3. ジョンが幸せなら、メアリーは笑わない=偽
  4. ジョンが幸せでなければ、マリアの笑顔は=偽

一般的な概要

真理値表の学者が各論理演算の結論を暗記するのは一般的です。 問題解決の時間を節約するために、常に次の点に注意してください。

  1. 連言命題:それらはすべての要素が真実である時にだけ真実になるでしょう。
  2. 選言的命題:それらはすべての要素が偽であるときにのみ偽になります。
  3. 条件付き命題:最初の命題が真であり、2番目の命題が偽であるときだけ、それらは偽になります。
  4. 二条件付命題:すべての要素が真実である場合、またはすべての要素が偽である場合にのみ真実となります。

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